Ciencias Básicas en Acción

El Cálculo de una variable es una rama esencial de las matemáticas que se dedica al estudio del cambio continuo y la acumulación de cantidades que dependen de una única variable. Su desarrollo histórico, principalmente por Newton y Leibniz, respondió a la necesidad de resolver problemas fundamentales relacionados con el movimiento, las formas geométricas y las tasas de variación. Los pilares de esta materia son la derivada y la integral . La derivada nos proporciona la razón de cambio instantánea de una función, interpretándose geométricamente como la pendiente de la tangente a la curva. El estudio del cálculo en una variable comienza con la noción de límite, que sienta las bases para definir conceptos cruciales como la continuidad, la derivada y la integral. A partir de estos fundamentos, se desarrollan técnicas para calcular derivadas e integrales de diversas funciones, así como para analizar sus propiedades. Aplicaciones del Cálculo en una Variable: La belleza del cálculo ...

  Primer teorema fundamental del cálculo Integral indefinida Si F es una antiderivada de la función f sobre un intervalo I, entonces la antiderivada más general de f sobre I, donde el símbolo  se llama signo de Integración y f(x) función integrando está dada por: Fórmulas básicas de integración Condiciones iniciales y soluciones particulares Como se sabe que la antiderivada y de una función y' = f (x) es un conjunto de funciones de la forma y = F(x) + C. En las aplicaciones de la integración (antiderivación) se puede dar suficiente información,  por ejemplo un valor particular de y = F(x) para algún valor de la variable independiente x (condiciones iniciales), que permite obtener una antiderivada particular de la función dada que satisface también estas condiciones iniciales. No olvides visitar nuestras redes sociales para más información:  Facebook    Instagram    YouTube

  RAZONES DE CAMBIO Razón de cambio o tasa de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud que establece el cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. Si las variables no tienen ninguna dependencia entre sí la tasa de cambio es cero. De la definición de derivada:   se deduce que la misma implica el análisis de la variación de una variable dependiente y respecto a una variable independiente x, Por tanto la derivada de una función permite establecer la razón de cambio entre dos variables. En la mayoría de problemas de aplicación de ingeniería en todas sus ramas y subdivisiones se requiere derivar las funciones con respecto al tiempo. A un problema en que intervengan razones de cambio, respecto al tiempo, de variables relacionadas, se le llama problema de rapideces de variación relacionadas, las variables tienen una relación específica para valores de t. Esta relación suele expresarse en forma de una ecuación, con frecuencia, los valores de las variables y...

  Combinación lineal Dependencia e independencia lineal Bases y dimensión No olvides visitar nuestras redes sociales para más información:  Facebook    Instagram    YouTube

Puntos críticos Criterio de la primera derivada Monotonía de funciones Puntos máximo y mínimo Criterio de la segunda derivada Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos Criterios de concavidad Punto de inflexión Los puntos de inflexión son aquellos en los que la función pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. Matemáticamente esto ocurre cuando la segunda derivada de la función en el punto considerado cambia de signo, y además la función f está definida en el punto considerado. Sea f continua en x = c. Un punto (c, f(c)) es un punto de inflexión si existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a c, de tal manera que la gráfica de f es, cóncava hacia arriba en (a, c) y cóncava hacia abajo en (c, b), o cóncava hacia abajo en (a, c) y cóncava hacia arriba en (c, b).  Como consecuencia de las definiciones de concavidad y de punto de inflexión, se observa que un punto de inflexión (c, f(c)) ocurre en un número x = c para el cual f''(c) = 0 o bien f'...

Derivada implicita Se conoce como derivación implícita a la técnica que se aplica en funciones que se encuentran definidas implícitamente. Esto significa derivar funciones en que las que la variable “y” no está despejada. Con este método no es requisito despejar la variable dependiente para encontrar la derivada. Derivada de orden superior La derivada de una función y = f(x) es a su vez una función f´(x). Si se procede a derivar  f´(x), la función resultante se llama segunda derivada de f con respecto a x. De forma similar al diferenciar f´´(x) se obtiene la tercera derivada de f (f´´´) y así sucesivamente. Por tanto, sea y = f(x) una función derivable. La derivada de orden n (orden superior a 1) es la función que se obtiene al derivar (respecto de x) la función n veces consecutivas, y se denota como:

  Reglas para derivar funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas Ejercicios Derivar las siguientes funciones: Regla de la cadena en derivadas de funciones trascendentes Si g es derivable en x y f es derivable en g(x), entonces la función compuesta definida mediante F(x) = f(g(x)) es derivable en x, y F´ está dada por el producto: En la notación de Leibniz, si y = f(u) y u = g(x) son funciones derivables, entonces: Reglas de las derivadas aplicando la regla de la cadena Ejercicios:

  Función exponencial La base e Función logarítmica Funciones trigonométricas ·          Función seno ·          Función coseno ·          Función tangente ·          Función cotangente ·          Función secante ·          Función cosecante

  Reglas para la diferenciación REGLA DE LA CADENA Ejercicio: Determinación de la derivada en un punto dado Determinación de la pendiente de una curva en un punto Determinación de una ecuación de una recta tangente