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Geometría - Conceptos

 Términos indefinidos

En Geometría existen ciertos términos que no están definidos como lo son: punto, recta y plano. Al usar un término indefinido (conceptos primitivos), se está suponiendo que la palabra es tan elemental que es universalmente conocido su significado al no existir palabras más sencillas para definirlo.

·         Punto: Euclides definió el punto como el elemento geométrico que tiene posición pero caree de dimensiones. Los puntos geométricos se representan gráficamente por medio de una marca y se los denomina empleando una letra mayúscula junto a la misma.

. A    x B

·     Plano: es un elemento geométrico que tiene dos dimensiones, longitud y ancho. Una hoja de papel infinita en sus dimensiones y sin espesor es el ejemplo típico para tener la idea de lo que es un plano. Se lo representa como una figura cualquiera y se lo denomina con una letra mayúscula colocada en el interior de su representación.

 ·        Recta: es un conjunto sucesivo de puntos (mínimo 2) que carece de espesor y ancho. En una recta se pueden marcar infinitos puntos, además es subconjunto de un plano. Se la nombra por medio de dos letras mayúsculas que representan a dos puntos cualesquiera de la recta.


Distancia entre dos puntos

Corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus coordenadas


Ejemplo: 

Proposición

Es una expresión verbal o escrita en la cual se afirma o niega algo. Las proposiciones más comunes son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios.

Axiomas

Son proposiciones que al ser evidentes no requieres ser demostrados.

·         Axioma de identidad:   a = a

·         Propiedad simétrica de la igualdad:  si a = b entonces b = a

·         Propiedad transitiva de la igualdad: si a = b y b = c entonces a = c

·         A los miembros de una igualdad se los puede sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a la misma potencia o extraer una raíz manteniendo la igualdad.

·         El todo es mayor que cualquiera de sus partes e igual a la suma de éstas.

·         ·         Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplican por números positivos iguales entonces el sentido de la desigualdad se mantiene.

·         Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

·         Si se suman desigualdades del mismo sentido se obtiene una desigualdad en el mismo sentido.

·         Si dos miembros de una desigualdad se restan de los dos miembros de una igualdad, el resultado es una desigualdad de sentido contrario a la dada.

 Postulados

Son proposiciones cuya veracidad a pesar de no tener la evidencia de un axioma, puede ser aceptada sin demostración.

·         Por dos puntos distintos solo pasa una recta.

·         Una recta es un conjunto ordenado de puntos.

·         Toda recta puede prolongarse indefinidamente en los dos sentidos.

·         La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los une.

·         Por tres puntos dados no colineales pasa un plano y solo uno.

·         Si dos puntos pertenecen a un plano, entonces la recta que los une también pertenece al plano.

·         Se puede trazar un círculo con centro y radio conocidos.

·         Toda figura puede cambiar de posición sin alterar su forma y tamaño.

Teoremas

Son proposiciones cuya verdad necesita ser demostrada. Un teorema se compone de hipótesis que son sus condiciones o datos y tesis que es la propiedad a demostrarse.

Existen ciertas relaciones a considerar entre los teoremas según como se tome la hipótesis y la tesis:

·         Directa: es el enunciado del teorema original.

·         Recíproca: es la proposición que tiene por hipótesis  y tesis la tesis y la hipótesis de la proposición directa.

·         Contraria: es la proposición que tiene por hipótesis y tesis las negaciones respectivas de la hipótesis y tesis de la proposición directa.

·         Contrarecíproca: es la proposición contraria a la recíproca de la directa.

Ejemplo:

Directa: si dos ángulos son opuestos por el vértice entonces son congruentes.

Recíproca: si dos ángulos son congruentes entonces son opuestos por el vértice.

Contraria: si dos ángulos no son opuestos por el vértice, entonces no son congruentes.

Contrarecíproca: si dos ángulos no son congruentes, entonces no son opuestos por el vértice.

 Colorarios

Son proposiciones consecuencia directa de un teorema ya demostrado, por lo cual no hace falta su demostración.

Problema

Es una situación que se plantea para ser resuelta.

Congruencia

Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y medida. 

Igualdad

Dos figuras son iguales si tienen igual medida y no necesariamente la misma forma

Las dos figuras a pesar de ser diferentes en su forma pueden ser iguales en su perímetro o área.

Semejanza

Dos figuras son semejantes si sus ángulos son respectivamente congruentes y sus lados respectivamente proporcionales.

Identidad



Se tiene una identidad al referirse  una misma figura geométrica aun cuando su denominación parezca diferente.

Demostración

Es un conjunto de razonamientos por medio de los cuales se busca llegar a una conclusión o tesis a partir de premisas o hipótesis. 



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