Derivadas

 Definición

La derivada de una función f es la función denotada por f´ y definida por:

Siempre que este límite exista.

Si f´(x) puede encontrarse, se dice que f es diferenciable y f´(x) se llama derivada de f en x o derivada de f respecto a x.

Además de la notación f´(x), otras formas de denotar a la derivada de f son:

Derivada de una función a partir de la definición de límite

Ejemplo 1: hallar la derivada de f(x) = x² + 1

Ejemplo 2: derivar 

Ejemplo 3: derivar

 

Interpretación de la derivada

La derivada de una función matemática es la razón de cambio o rapidez de cambio de una función en un determinado punto. En otras palabras, la derivada indica qué tan rápido se está produciendo una variación. 

Por otra parte, desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.

Rectas paralelas y perpendiculares

·         Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.

·         Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes cumplen la relación: m1.m2 = -1.

Formas de la ecuación de una recta.

·         Punto – pendiente:   y – y₁ = m (x – x₁)

·         Pendiente – ordenada en el origen: y = mx + b

                                                   ·         Forma general: Ax + By + C = 0 

Ejemplo: determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva f(x) = 3x² – 2 en el punto (1,1)

Paso 1: se determina la pendiente de la recta tangente derivando la función

Paso 2: ecuación de la recta tangente

Paso 3: ecuación de la recta normal

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes cumplen la relación: m1.m2 = -1