CONTINUIDAD - LIMITES

 FUNCIONES CONTINUAS  

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo.

Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un corte o salto y por tanto la gráfica se corta.

La continuidad de una función se la puede analizar a partir de los siguientes criterios:

·         Continuidad en un punto

·         Continuidad en un intervalo

Continuidad en un punto

Una función f es continua en un punto x = a si cumple las tres condiciones siguientes:

1.- La función f existe en el punto x = a, es decir f(a) existe o también “a” es parte del dominio de f(x).

2.- Existe el límite de la función en el punto x = a

1.      3.- La imagen de la función para el punto x = a y el límite de la función en el punto x = a coinciden

Cuando una de las tres condiciones o más no se cumple, se dice que la función f es discontinua en el punto x = a

Continuidad en un intervalo

Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos los puntos de dicho intervalo. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].

Se pueden establecer cuatro casos al analizar la continuidad en un intervalo dependiendo si este es abierto, cerrado o semiabierto.

Propiedades sobre continuidad

Sean f y g dos funciones continuas en x = a, se cumple que:

·         f + g es continua en x = a.

·         f · g es continua en x = a.

·         f / g es continua en x = a, siempre que g(a) ≠ 0.

·         f o g es continua en x = a.

·         α · f  es continua en x = a, siendo α un número real.

De las propiedades descritas se desprenden tres consecuencias

·         1.- Las funciones polinómicas son continuas en ℝ

·        2.-  Las funciones racionales son continuas en su dominio, es decir, en todos los puntos que no anulen el denominador

·        3.-  Las funciones compuestas son continuas en su dominio

Ejemplos: