FUNCIONES CONTINUAS
Una
función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo.
Se dice que la función
es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que
existe un corte o salto y por tanto la gráfica se corta.
La continuidad de una
función se la puede analizar a partir de los siguientes criterios:
·
Continuidad en un punto
·
Continuidad en un
intervalo
Continuidad
en un punto
Una función f es continua en un punto x = a si cumple las tres condiciones siguientes:
1.- La función f existe en el punto x = a, es decir f(a) existe o también “a” es parte del dominio de f(x).
2.- Existe el límite de la función en el punto x = a
Cuando una de las tres
condiciones o más no se cumple, se dice que la función f es discontinua en el
punto x = a
Continuidad
en un intervalo
Una
función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos los puntos de
dicho intervalo. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en
[a,b].
Se
pueden establecer cuatro casos al analizar la continuidad en un intervalo
dependiendo si este es abierto, cerrado o semiabierto.
Sean
f y g dos funciones continuas en x = a, se cumple que:
·
f + g es continua en x
= a.
·
f · g es continua en x
= a.
·
f / g es continua en x
= a, siempre que g(a) ≠ 0.
·
f o g es continua en x
= a.
·
α · f es continua en x = a, siendo α un número
real.
De las propiedades
descritas se desprenden tres consecuencias
· 1.- Las funciones
polinómicas son continuas en ℝ
· 2.- Las funciones
racionales son continuas en su dominio, es decir, en todos los puntos que no
anulen el denominador
· 3.- Las funciones
compuestas son continuas en su dominio
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